陈友谅建立的国号是 汉。以下是相关历史背景的梳理：

国号选择

陈友谅在1360年建立政权时，曾考虑过"陈"和"汉"两个国号。由于他本姓陈，使用"陈"作为国号不符合传统（历史上已有陈朝），最终选择"汉"作为国号，并改元 大义。

政权建立时间与地点

陈友谅于1360年闰五月在采石矶（今属安徽，属江西境）称帝，建立"汉"政权，定都江州（今江西九江）。

政权存在时间

该政权存在约4年，至1363年被朱元璋击败后灭亡。

历史评价

陈汉政权是元末最强势力之一，一度控制江西、湖广等地，但因内部腐败和与朱元璋的斗争最终失败。

综上，陈友谅建立的国号为 汉，建立时间为1360年，政权存在至1363年。