等比数列：$S_n = \frac{a_1（1 - q^n）}{1 - q}$

数列求和的"秒杀万能公式"主要针对等差数列和等比数列，以下是具体说明：

一、等差数列求和公式

基本公式

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

其中，$S_n$表示前$n$项和，$a_1$为首项，$a_n$为第$n$项，$n$为项数。

变形公式

$$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + l)$$

其中$l$为末项（即$a_n$）。

应用示例

对于数列$1, 3, 5, 7, 9$，首项$a_1=1$，末项$a_5=9$，项数$n=5$，则：

$$S_5 = \frac{5 \times (1 + 9)}{2} = 25$$。

二、等比数列求和公式

基本公式

$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$

其中，$q$为公比。

应用示例

对于数列$1, 2, 4, 8, 16$，首项$a_1=1$，公比$q=2$，项数$n=5$，则：

$$S_5 = \frac{1 \times (1 - 2^5)}{1 - 2} = 31$$。

三、注意事项

公式适用范围

该公式仅适用于等差数列和等比数列，对于其他类型的数列（如非等差/等比数列），需采用拆分法或积分法等特殊方法。

高阶数列

对于更高阶的数列，可能需要结合数学归纳法、生成函数等高级方法求解。

公式推导

等差数列公式可通过倒序相加法推导，等比数列公式则通过错位相减法得出。

通过熟练掌握上述公式，数列求和问题可快速解决。若遇到复杂数列，建议先判断类型，再选择合适方法。