根据三角函数的基本关系，$\tan^2 x$ 可以表示为 $\sec^2 x - 1$。以下是推导过程：

基本恒等式

$\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

利用三角函数平方关系

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

因此，$\sec^2 x = \frac{1}{1 - \sin^2 x}$

将 $\sec^2 x$ 表示为 $\tan x$ 的函数

$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$

代入 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，得到：

$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{1 - \sin^2 x}$

进一步化简：

$\tan^2 x = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 x} - 1} = \frac{1}{\sec^2 x - 1}$

因此，$\sec^2 x - 1 = \frac{1}{\tan^2 x}$

即 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$

注意：

该公式仅适用于 $x$ 不是 $\frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）的情况，因为这些值会导致 $\cos x = 0$，从而使 $\sec x$ 无定义。