关于《新还珠格格》中永琪和小燕子的生育问题，综合剧情和观众讨论，可以总结如下：

生育争议的起源

欣荣与永琪成婚并生育了一个儿子绵亿，但永琪在孩子出生后离开皇宫与小燕子团聚。部分观众和剧情暗示永琪与欣荣的婚姻可能存在问题，但官方未明确说明两人是否有其他子女。

小燕子的生育能力

- 官方明确表示小燕子在皇宫期间未能生育子女。

- 粉丝推测小燕子离宫后与永琪隐居期间生育了四子，但这一情节属于观众推算，并非官方明确描述。

剧情中的关键线索

- 欣荣与五阿哥（永琪）的婚姻中，欣荣曾为永琪生下绵亿。

- 永琪离开皇宫后，小燕子成为还珠郡主并许配给永琪，但两人婚姻生活未生育子女。

观众解读与争议点

- 部分观众认为永琪对小燕子的生育问题存在愧疚，可能通过让小燕子生育子女来弥补遗憾。

- 另有观众推测永琪与知画、尔康等人的子女可能存在关联，但这些说法缺乏官方依据。

总结：

欣荣与永琪有明确子女（绵亿）；

小燕子与永琪的生育问题存在争议，官方未明确说明；

部分观众推算小燕子离宫后与永琪有子女，但此说法非官方剧情。建议观众以官方剧情为准，对于生育问题的设定可结合剧情逻辑和观众解读综合理解。