一、空间向量

数量积公式

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle$$

其中 $\mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）$，$\mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）$。

坐标运算

- 数量积：

$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

- 模长：$\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

- 夹角：$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$

- 共线：$\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$（$\lambda \neq 0$）。

向量平行与垂直

- 平行：$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$

- 垂直：$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$。

四点共面与共线

- 四点共面：$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$（$x + y + z = 1$）。

二、数列

等差数列

- 通项公式：$a_n = a_1 + （n-1）d$

- 前n项和：$S_n = \frac{n}{2}（a_1 + a_n）$

- 判定条件：$a_{n+1} - a_n = d$。

等比数列

- 通项公式：$a_n = a_1 q^{n-1}$

- 前n项和：$S_n = \frac{a_1（1 - q^n）}{1 - q}$（$q \neq 1$）。

三、几何与概率

圆锥曲线

- 椭圆：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）

- 双曲线：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

- 离心率：$e = \frac{c}{a}$（$c^2 = a^2 + b^2$）。

全概率公式与贝叶斯公式

- 全概率公式：$P（B） = \sum_{i=1}^n P（A_i）P（B|A_i）$

- 贝叶斯公式：$P（A_i|B） = \frac{P（A_i）P（B|A_i）}{\sum_{j=1}^n P（A_j）P（B|A_j）}$。

四、其他常用公式

向量加法与数乘：

满足交换律、结合律，数乘满足分配律。- 对数运算：$\log_a（MN） = \log_a M + \log_a N$，$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$。- 逻辑命题：原命题与逆否命题等价，充分条件与必要条件的判定。

以上公式为高中数学核心内容，建议结合具体题型进行练习，注意公式适用范围及易错点（如向量夹角范围$[0, \pi]$，对数定义域等）。