关于离心率的计算，根据不同的几何曲线类型，存在多种公式和速算技巧。以下是综合整理的核心公式及应用技巧：

一、椭圆离心率公式

基本公式

$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$

其中，$a$为长半轴，$b$为短半轴，$c$为半焦距（满足$c^2 = a^2 - b^2$）。

应用技巧

- 已知长轴和短轴可直接套用；

- 若已知焦点距离（如焦距$2c$），可通过$a^2 = b^2 + c^2$变形求解。

二、双曲线离心率公式

基本公式

$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$

其中，$a$为实半轴，$b$为虚半轴，$c$为半焦距（满足$c^2 = a^2 + b^2$）。

应用技巧

- 已知渐近线斜率$k$时，离心率$e = \sqrt{1 + k^2}$（渐近线方程为$y = \pm \frac{b}{a}x$）。

三、圆锥曲线统一极坐标方程

$$\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}$$

其中$e$为离心率，$p$为焦点到准线的距离，$\theta$为极角。

四、其他相关公式

双曲线离心率与渐近线夹角

若双曲线渐近线夹角为$2\alpha$，则离心率$e = \frac{1}{\cos\alpha}$。

离心率变化率

对于圆锥曲线$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率随参数变化率公式为：

$$\frac{de}{da} = \frac{b^2}{a^3}$$。

五、典型题型速算技巧

中点弦问题：

利用焦点弦性质，离心率可表示为$e = \frac{2ab}{a^2 + b^2}$。

向量型焦点弦：通过向量运算简化离心率计算。

焦点三角形：结合余弦定理，离心率公式为$e = \frac{c}{a} = \frac{a^2 + b^2 - |PF_1F_2|^2}{2ab}$。

总结

掌握以上公式及技巧，可快速解决椭圆、双曲线离心率相关的高中数学问题。建议结合具体题型选择适用公式，并通过多练习提升应用能力。