关于 $\tan 2x$ 的表达式，综合多个来源的信息整理如下：

一、标准公式

$$

\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}

$$

该公式通过正弦和余弦的二倍角公式推导得出：

$$

\sin 2x = 2 \sin x \cos x \\

\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

$$

再利用 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 进行变换即得。

二、其他形式

分子分母互换形式

$$

\tan 2x = \frac{1 - \cot^2 x}{2 \cot x}

$$

其中 $\cot x = \frac{1}{\tan x}$。

基于 $\cos 2x$ 的表达式

$$

\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}

$$。

三、性质与周期

最小正周期：

$\pi$（180°），因为 $\tan x$ 的周期为 $\pi$，而 $2x$ 将周期缩短一半。

值域：$（-\infty, +\infty）$，正切函数在每个周期内取遍所有实数。

四、注意事项

公式适用范围：$x \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$），避免分母为零。

计算建议：当 $\tan x$ 接近无穷大时，需注意数值精度问题。

以上内容综合了三角函数的基本关系和二倍角公式的多种推导方式，可根据具体问题选择合适形式应用。