十字相乘法是一种用于 因式分解的数学方法，特别适用于二次三项式的因式分解。其基本原理是利用乘法公式$（x+a）（x+b）=x^2+（a+b）x+ab$的逆运算来进行因式分解。具体步骤如下：

明确系数：

将二次项的系数和常数项分别分解成因数。

尝试匹配：

尝试不同的因数组合，使得交叉相乘后的和等于一次项的系数。

确定因式：

确定合适的因数组合，并写出因式分解的结果。

检验结果：

通过乘法验证因式分解的正确性。

示例

例1：分解因式 $6x^2 + 13x + 6$

1. 分解二次项系数和常数项的因数：

$6 = 1 \times 6 = 2 \times 3$

$13 = 1 \times 13$

2. 尝试匹配：

$x^2$ 和 $6$ 的因数组合：$（x+1）（x+6）$ 和 $（x+2）（x+3）$

交叉相乘并相加：

$（x+1）（x+6） = x^2 + 7x + 6$

$（x+2）（x+3） = x^2 + 5x + 6$

匹配一次项系数：$7x$ 和 $5x$，选择 $（x+3）（x+2）$

3. 确定因式分解结果：$6x^2 + 13x + 6 = （x+3）（x+2）$

例2：分解因式 $3m^3 - 3m^2 - 60m$

1. 分解二次项系数和常数项的因数：

$3m^3 = 3m \times m^2$

$-60m = -1 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times m$

2. 尝试匹配：

$3m^3$ 和 $-60m$ 的因数组合：$（3m）（m^2 - 20）$ 和 $（m）（3m^2 - 60）$

交叉相乘并相加：

$（3m）（m^2 - 20） = 3m^3 - 60m$

$（m）（3m^2 - 60） = 3m^3 - 60m$

匹配一次项系数：$0$ 和 $0$，选择 $（3m）（m^2 - 20）$

3. 确定因式分解结果：$3m^3 - 3m^2 - 60m = 3m（m^2 - 20） = 3m（m-5）（m+4）$

适用范围

十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解，并且要求二次项系数为1或容易分解成两个因数的乘积。对于首项系数不是1的情况，可能需要多次尝试和调整。

优点

计算简便：能够迅速将二次三项式分解为两个因式的乘积。

节省时间：相比于其他因式分解方法，十字相乘法更加高效。

减少错误：步骤清晰，容易验证，减少了计算错误的可能性。

注意事项

系数符号：在分解因式时，务必注意各项系数的符号。

多次尝试：对于首项系数不是1的情况，可能需要多次尝试才能找到正确的因式组合。

通过以上步骤和示例，相信你对十字相乘法有了更深入的了解。掌握这种方法，可以有效提升你在处理二次三项式因式分解问题时的效率和准确性。