《出师表》中表现诸葛亮不畏艰难、勇挑重担的耿耿忠心的核心句子是：

"受命于败军之际，奉命于危难之间"

此句体现了诸葛亮在蜀汉危难之际，主动请缨、挺身而出的担当精神，彰显了他对先帝刘备的忠诚与使命感。

其他相关句子补充：

1. "夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明，故五月渡泸，深入不毛"（表达勤勉尽责的态度）

2. "愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效则治臣之罪，以告先帝之灵"（体现担当后果的决心）

这些句子共同勾勒出诸葛亮作为忠臣的形象，既有对先帝的忠诚承诺，又有面对困境的勇气与责任感。