数学中所谓的“万能公式”通常指具有广泛适用性的公式或方法。根据搜索结果，以下是三个被广泛认可的重要数学公式及其应用领域：

一、三角函数的万能公式

通过半角公式，将正弦、余弦、正切函数统一表示为$\tan\left（\frac{\theta}{2}\right）$的多项式形式：

正弦函数：

$$\sin\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}}$$

该公式将任意角度的正弦值转化为仅包含半角正切的表达式，简化了三角函数的计算。

余弦函数：

$$\cos\theta = \frac{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}}$$

类似地，余弦函数也可用半角正切表示，便于统一处理三角函数问题。

正切函数：

$$\tan\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}}$$

此公式在已知半角正切时，可快速求得全角正切值。

应用场景：在解三角形、积分计算及工程学中，万能公式能简化多角度三角函数的转换与计算。

二、二次方程求根公式

对于标准形式的二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其根的表达式为：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

该公式通过判别式$\Delta = b^2 - 4ac$判断根的性质（实数、复数），并直接给出解的具体形式。

应用场景：代数方程求解、物理运动分析及工程计算中频繁使用。

三、等差数列与等比数列求和公式

等差数列前n项和：

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2}$$

其中$a_1$为首项，$d$为公差，适用于等差数列的快速求和。

等比数列前n项和：

$$S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$

该公式描述了等比数列的累积规律，广泛应用于金融计算、几何级数分析等场景。

其他补充说明

平方差公式：$a^2 - b^2 = （a + b）（a - b）$，简化多项式运算。

欧拉公式：$e^{i\pi} + 1 = 0$，被誉为数学中最优美的公式之一，连接复数与三角函数。

以上公式因通用性强、应用广泛，常被称作“万能公式”。掌握这些工具可显著提升数学问题的解决效率。